文系でも経済学部などに所属していると学ぶことがある
かもしれない「ラグランジュ未定乗数法」とは？
私は初めてラグランジェ未定乗数法の
名前を聞いた時、頭の中にハテナがたくさん
浮かびました・・・(何しろ数学が苦手なので)
同じように数学が苦手な文系大学生の方で、
ラグランジェ乗数法に運悪く？出食わしてしまい困り果てている人もいると思います。
そこで、概要だけでも知りたい理解したい！という人に向けて、自分が理解した範囲ですが
分かりやすいようにすごくざっくり解説します！
ラグランジェ未定乗数法とは
概要
ラグランジェ未定乗数法
(method of Lagrange multiplier)とは、
等式制約付き2変数関数の極値を求める際、その極地の”候補”を求めるのに使用する計算方法。
2変数関数とは、2つの変数によって値が決定される関数のことで、
それに等式の条件が付いている場合に、その極値点の可能性がある値を求めることができる計算方法ということです。
極地の候補であるだけで、実際に極値なのかまでは求められません。
ラグランジェ乗数法の定義
ざっくりとした定義
関数f(x,y)が与えられていて、
関数g(x,y)=0が条件として存在する。
また 、f(x,y)と g(x,y)は連続微分可能であるとする。
▽g(a,b)≠0であるとき、
▽f(a,b)=λ▽g(a,b)となる実数λが存在すれば(a,b)は関数f の極値となりうる。
〜補足〜
f(x,y)もg(x,y)も２変数関数です。
連続微分可能とは、関数が2変数に関して偏微分可能で連続であるということです。
λはラグランジェ乗数と呼ばれます。
▽f(a,b)はf(x,y)の点(a,b)における
勾配ベクトルです。
(▽はナブラと読みます。)
勾配ベクトルとは、f(x,y)をxに関して偏微分した際の点(a,b)における値と、
f(x,y)を、yに関して偏微分した際の
点(a,b)における値からなるベクトルです。
つまり、fの(a,b)における勾配ベクトル＝
( D1 f(a,b) , D2 f(a,b) )です。
※D1は、第一変数に関して偏微分した
という意味です。
具体的な使い方
実際に、問題でどのようにラグランジェ乗数法を使うのか、流れをまとめました。
- 関数 fとg は連続微分可能であることを
示す。 - 求める極値点を(a,b)として、
▽g(a,b)≠0を示す。 - ▽f(a,b)= λ▽g(a,b)となる 実数λが
存在することを述べる。 - ▽f(a,b)= λ▽g(a,b)と、g(a,b)=0の
連立方程式を解いてa, b , λの値を求める。
ちなみに、
F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)とするとき、
Fはラグランジェ関数と
言われます。
ラグランジェ未定乗数法
まとめ
まとめ
- ラグランジェ乗数法は、等式制約付きの2変数関数の、極値点の候補を
求める際に使われる計算方法。 - ▽f(a,b)=λ▽g(a,b)と、g(a,b)=0の
連立方程式を解くことで極値点の候補を求めることができる。
いかがだったでしょうか？
あまり詳細な説明などが出来ず拙い説明かもしれませんが、数学が苦手な人がラグランジェ乗数法を理解する手助けになれば嬉しいです！
